Kısmi Diferansiyel Denklemler (PDE)

Kısmi diferansiyel denklemler için gerekli adi diferansiyel denklem altyapısı tekrar edilir. Lineer ODE'ler, başlangıç değer problemleri, sınır değer problemleri, homojen ve homojen olmayan sınır şartları ele alınır. Bu bölümde PDE çözümlerinde ortaya çıkan özdeğer problemlerinin ODE sınır değer problemleriyle bağlantısı kurulur.

Sturm–Liouville problemleri özdeğer, özfonksiyon, ağırlık fonksiyonu ve ortogonallik kavramları üzerinden incelenir. Homojen sınır şartları altında özfonksiyonların ortogonal baz oluşturması ve genel çözümün özfonksiyon serileriyle ifade edilmesi çalışılır. Bu bölüm, değişkenlerine ayırma yöntemiyle çözülen PDE problemlerinin matematiksel temelini oluşturur.

Fourier serileri, ortogonal fonksiyon açılımlarının temel örneği olarak ele alınır. Sinüs, kosinüs ve tam aralık Fourier serileri; tek–çift fonksiyonlar, yarım aralık açılımları ve yakınsama davranışı incelenir. Sınır şartlarının uygun Fourier açılımı seçimine etkisi ve Fourier katsayılarının fiziksel anlamı problem çözümüyle çalışılır.

PDE kavramı; alan değişkeni, bağımsız değişkenler, mertebe, lineerlik ve homojenlik üzerinden tanıtılır. İkinci mertebeden lineer PDE'lerde elliptic, parabolic ve hyperbolic sınıflandırma yapılır. Laplace/Poisson, ısı ve dalga denklemlerinin bu sınıflarla ilişkisi fiziksel örnekler üzerinden yorumlanır.

Birinci mertebeden kısmi diferansiyel denklemler karakteristik eğriler yaklaşımıyla incelenir. Quasi-linear ve lineer birinci mertebe PDE'lerde karakteristik denklemlerin kurulması, başlangıç eğrisi ve çözüm yüzeyi kavramları ele alınır. Taşınım denklemi ve basit dalga yayılımı problemleri üzerinden karakteristik yönteminin fiziksel anlamı gösterilir.

Isı denklemi, parabolic PDE yapısı ve difüzyon fiziksel yorumu üzerinden ele alınır. Bir boyutlu ısı iletimi problemlerinde başlangıç şartı ve sınır şartları kurulur. Homojen Dirichlet, Neumann ve karışık sınır şartlarında değişkenlerine ayırma yöntemi uygulanır; sıcaklık alanı Fourier serileri ve özfonksiyon açılımlarıyla elde edilir.

Isı denkleminde homojen olmayan sınır şartları, iç ısı üretimi veya kaynak terimi içeren problemler ele alınır. Çözümün steady ve transient kısımlara ayrılması, sınır şartlarının homojenleştirilmesi ve süperpozisyon yaklaşımı çalışılır. Bu bölümde fiziksel sınır koşullarının matematiksel çözüm stratejisini nasıl değiştirdiği problem çözümüyle gösterilir.

Dalga denklemi, hyperbolic PDE yapısı ve titreşim/dalga yayılımı fiziksel yorumu üzerinden incelenir. Tel titreşimi, başlangıç yer değiştirmesi, başlangıç hızı ve sınır şartları kullanılarak çözüm kurulur. Değişkenlerine ayırma yöntemi, normal modlar, özfrekanslar ve d'Alembert çözümü temel düzeyde ele alınır.

Laplace ve Poisson denklemleri elliptic PDE sınıfı içinde incelenir. Potansiyel problemler, kararlı ısı iletimi, elektrostatik potansiyel ve akış potansiyeli gibi fiziksel örneklerle bağlantı kurulur. Dikdörtgensel bölgelerde değişkenlerine ayırma yöntemi, sınır şartlarının uygulanması ve harmonik fonksiyonların fiziksel yorumu problem çözümüyle çalışılır.

Fourier ve Laplace dönüşümleri, sonsuz veya yarı sonsuz bölgelerdeki PDE problemlerinin çözümünde kullanılan analitik yöntemler olarak ele alınır. Fourier dönüşümü ile uzay değişkeninin, Laplace dönüşümü ile zaman değişkeninin dönüştürülmesi incelenir. Isı, dalga ve difüzyon tipi problemlerde dönüşüm yöntemiyle çözüm stratejisi problem çözümüyle çalışılır.

Silindirik ve küresel koordinatlarda ortaya çıkan özel fonksiyonlara giriş yapılır. Bessel denklemi, Legendre denklemi, kökler, ortogonallik ve sınır şartlarının özel fonksiyon çözümlerine etkisi temel düzeyde incelenir. Dairesel membran, silindirik ısı iletimi ve küresel potansiyel problemleriyle bağlantı kurulur.

Green fonksiyonu yaklaşımı, lineer diferansiyel operatörler ve kaynak terimli problemler için genel çözüm fikri üzerinden ele alınır. Impulse response, delta fonksiyonu, sınır şartları ve süperpozisyon kavramları incelenir. Bu bölümde Green fonksiyonlarının Poisson, ısı ve dalga problemlerindeki rolü temel düzeyde yorumlanır.