Engineering Mathematics

Vektör uzayı kavramı, alt uzaylar, lineer bağımsızlık, baz, boyut, span ve lineer kombinasyon kavramları ele alınır. Mühendislik problemlerinde değişkenlerin vektör uzayları içinde nasıl temsil edildiği ve lineer yapıların sistem modellemesindeki rolü incelenir. Bu bölümde soyut lineer cebir kavramlarının fiziksel ve geometrik anlamı üzerinde durulur.

Matris gösterimleri, lineer dönüşümler, matris çarpımı, ters matris, determinant, rank ve lineer denklem sistemleri incelenir. Gauss eliminasyonu ve Gauss–Jordan yöntemi kullanılarak satır basamak formu (row echelon form) ve indirgenmiş satır basamak formu (reduced row echelon form) elde edilir. Homojen ve homojen olmayan sistemlerin çözüm yapısı, serbest değişkenler, rank yorumu ve çözüm uzayının geometrik anlamı mühendislik problemleriyle birlikte çalışılır.

Özdeğer ve özvektör kavramları, karakteristik denklem ve matrislerin diagonalizasyonu ele alınır. Dinamik sistemler, titreşim problemleri, kararlılık analizi ve mod şekilleri gibi mühendislik uygulamalarında özdeğer problemlerinin fiziksel anlamı yorumlanır. Bu bölümde lineer sistem davranışının özdeğer yapısıyla nasıl ilişkilendiği problem çözümüyle çalışılır.

İç çarpım, norm, uzaklık, ortogonallik, ortonormal bazlar ve projeksiyon kavramları incelenir. Gram–Schmidt ortonormalleştirme yöntemi, en küçük kareler yaklaşımı ve fonksiyonların ortogonal bazlar cinsinden temsil edilmesi ele alınır. Bu bölümde ortogonalliğin Fourier serileri, modal analiz ve yaklaşık çözüm yaklaşımlarıyla bağlantısı kurulur.

Fourier serileri, periyodik fonksiyonların sinüs ve kosinüs bazları cinsinden temsil edilmesi üzerinden ele alınır. Fourier katsayıları, tek–çift fonksiyonlar, yarım aralık açılımları ve yakınsama davranışı incelenir. Fourier dönüşümü ise frekans uzayı, sinyal analizi, ısı iletimi, dalga problemleri ve mühendislik sistemlerinin spektral yorumu ile ilişkilendirilerek çalışılır.

Laplace dönüşümü, başlangıç değer problemleri ve lineer diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılan bir dönüşüm yöntemi olarak ele alınır. Ters Laplace dönüşümü, kısmi kesirlere ayırma, birim basamak fonksiyonu, impuls fonksiyonu ve konvolüsyon kavramları incelenir. Mekanik titreşim, elektrik devreleri, kontrol sistemleri ve geçici rejim analizlerinde Laplace yaklaşımı problem çözümüyle çalışılır.

Kısmi diferansiyel denklemlere giriş yapılarak ısı denklemi, dalga denklemi ve Laplace denklemi temel formlarıyla ele alınır. Değişkenlerine ayırma yöntemi kullanılarak sınır ve başlangıç koşullarına sahip problemler çözülür. Fourier serileriyle bağlantı kurularak sıcaklık dağılımı, titreşim ve potansiyel problemlerinde çözümün fiziksel anlamı yorumlanır.

Kompleks sayılar, kompleks fonksiyonlar, limit, süreklilik ve kompleks türevlenebilirlik kavramları incelenir. Cauchy–Riemann denklemleri, analitik fonksiyonlar, harmonik fonksiyonlar ve kompleks düzlemde geometrik yorum ele alınır. Bu bölümde kompleks analizin potansiyel akış, ısı iletimi ve alan problemleriyle ilişkisi kurulur.

Kompleks düzlemde eğri integralleri, yol bağımsızlığı, Cauchy integral teoremi ve Cauchy integral formülü ele alınır. Analitik fonksiyonların integral özellikleri ve kapalı konturlar üzerindeki davranışı incelenir. Bu bölümde kompleks integrasyonun potansiyel teori, akışkanlar ve elektromanyetik alan problemlerindeki rolü yorumlanır.

Kompleks fonksiyonların Taylor ve Laurent serileriyle yerel davranışı incelenir. Tekillik türleri, kutuplar, kaldırılabilir tekillikler ve esas tekillikler ele alınır. Residue teoremi kullanılarak kompleks integrallerin ve bazı gerçek integrallerin hesaplanması çalışılır; bu yaklaşımın mühendislik ve uygulamalı matematik problemlerindeki avantajı yorumlanır.

Konform dönüşümler, açı koruma özelliği ve kompleks düzlemde bölge dönüşümleri üzerinden ele alınır. Basit dönüşümler, Möbius dönüşümleri ve potansiyel fonksiyonlarla ilişki incelenir. Bu bölümde konform dönüşümlerin potansiyel akış, elektrostatik, ısı iletimi ve sınır değer problemlerinde karmaşık geometrileri daha çözülebilir bölgelere dönüştürmedeki rolü çalışılır. Ayrıca Joukowski dönüşümü üzerinden daire geometrisinden airfoil profili elde edilmesi ve bunun potansiyel akış problemleriyle ilişkisi ele alınır.

Skaler ve vektör alanları, gradyan, diverjans, rotasyonel, çizgi integralleri, yüzey integralleri ve hacim integralleri ele alınır. Green, Stokes ve Diverjans teoremleri üzerinden yerel diferansiyel büyüklükler ile global integral ifadeleri arasındaki ilişki yorumlanır. Akışkanlar mekaniğinde hız alanı, akı, dolaşım ve çevrinti; elektromanyetizmada ise elektrik–manyetik alanlar ve alan integralleri üzerinden uygulamalar incelenir.