Diferansiyel Denklemler / Engineering Mathematics
Diferansiyel Denklemler / Engineering Mathematics; adi diferansiyel denklemler, başlangıç değer problemleri, seri çözümleri, Laplace dönüşümü ve lineer sistemler üzerinden mühendislik problemlerinin matematiksel modellenmesini ve çözüm yöntemlerini ele alan temel bir matematik dersidir.
Ders İçeriği
Haftalık içerikBirinci mertebeden adi diferansiyel denklemler; ayrılabilir denklemler, lineer denklemler, tam diferansiyel denklemler, homojen denklemler ve Bernoulli tipi denklemler üzerinden incelenir. Başlangıç değer problemleri kurularak çözüm sabitlerinin belirlenmesi ve çözümün fiziksel anlamı yorumlanır. Büyüme–azalma, karışım, soğuma ve temel mühendislik modelleme problemleriyle yöntem seçimi çalışılır.
Sabit katsayılı ikinci mertebeden adi diferansiyel denklemler homojen ve homojen olmayan yapılarıyla ele alınır. Karakteristik denklem, gerçek farklı kökler, tekrarlı kökler ve kompleks kökler üzerinden genel çözüm elde edilir. Belirsiz katsayılar ve parametrelerin değişimi yöntemleri problem çözümüyle çalışılır; mekanik titreşim ve elektrik devresi uygulamalarıyla fiziksel yorum yapılır.
Yüksek mertebeden sabit katsayılı adi diferansiyel denklemler, karakteristik denklem ve süperpozisyon ilkesi üzerinden incelenir. Homojen çözüm, özel çözüm, başlangıç koşullarının uygulanması ve lineer bağımsızlık kavramları çalışılır. Mühendislik sistemlerinde yüksek mertebeden modellerin nasıl ortaya çıktığı ve çözüm davranışının kök yapısıyla nasıl ilişkilendiği yorumlanır.
Sabit katsayılı olmayan ikinci mertebeden diferansiyel denklemlerde seri çözüm yaklaşımı ele alınır. Adi nokta ve tekil nokta kavramları, kuvvet serisi yöntemi ve Frobenius yöntemi üzerinden çözüm yapısı incelenir. Bu bölümde kapalı form çözümün zor olduğu durumlarda çözümün seri açılımı ile nasıl temsil edildiği problem çözümüyle çalışılır.
Laplace dönüşümü ve ters Laplace dönüşümü kullanılarak başlangıç değer problemleri çözülür. Temel dönüşüm kuralları, türevlerin dönüşümü, kısmi kesirlere ayırma, birim basamak fonksiyonu, impuls/Dirac delta fonksiyonu ve konvolüsyon kavramları ele alınır. Sabit katsayılı ODE’ler, parçalı tanımlı girdiler ve mühendislik sistemlerinin zamana bağlı tepkisi problem çözümüyle incelenir.
Birinci mertebeden lineer diferansiyel denklem sistemleri matris formunda ele alınır. Özdeğer–özvektör yöntemi, homojen sistemler, zorlanmış sistemler, faz düzlemi yorumu ve kararlılık analizi çalışılır. Mekanik, elektriksel ve dinamik sistem örnekleri üzerinden çok değişkenli sistemlerin diferansiyel denklem modeliyle nasıl temsil edildiği ve çözüldüğü incelenir.
Hedeflenen Kazanımlar
- Diferansiyel denklem tiplerini tanıyıp uygun çözüm yöntemini seçebilmek
- Birinci ve yüksek mertebeden adi diferansiyel denklemleri analitik yöntemlerle çözebilmek
- Başlangıç ve sınır koşullarını kullanarak mühendislik problemlerini matematiksel modele dönüştürebilmek
- Seri çözümleri, Laplace dönüşümü ve lineer sistem yöntemlerini uygun problem yapısına göre uygulayabilmek
- Mekanik titreşim, elektrik devreleri, ısı transferi ve dinamik sistemler gibi mühendislik uygulamalarında diferansiyel denklem yaklaşımını yorumlayabilmek
- Vize–final öncesi konu bütünlüğü kurmak, yöntem seçimi ve sınav tipi problem çözme becerisi geliştirmek